Martin Ancicka wurde am 1. Oktober 1974 in Kladno (Tschechoslowakei) geboren. Der 183 cm große und 85 kg schwere Offensivverteidiger begann seine Ausbildung in seinem Heimatverein, durchlief alle Altersklassen bis zur U20 und bekam 1993 seinen ersten Profivertrag in der ersten tschechischen Liga bei TJ Kladno. Mit einer Förderlizenz spielte er drei Jahre in der zweiten Liga für Berounsti Medvedi und in der Saison 1996/97 für HC Kometa Brno.
1997 wechselte der Deutschtscheche nach Regensburg. Bereits in seiner ersten Saison gelang ihm der Durchbruch. In 50 Spielen konnte er 78 Punkte auf seinem Konto verbuchen. Die zweite Saison in Regensburg war ebenso erfolgreich.
1999 folgte ein Engagement beim SC Bietigheim-Bissingen in der zweiten deutschen Liga. 2000 schnürte er seine Schlittschuhe für den Ligakonkurrenten Heilbronner EC, bevor er sich eine Saison später wieder für Bietigheim-Bissingen verpflichtete.
Mit 28 Jahren kehrte der Linksschütze zurück nach Regensburg, spielte für die Eisbären in der DEL2 und wurde in den Saisons 2004/05 und 2005/06 punktbester Verteidiger der Liga. Daraufhin wurde er von Uwe Krupp in die deutsche Nationalmannschaft berufen. Bereits bei seinem ersten Einsatz im Trikot der Nationalmannschaft gewann er die Division-I-Weltmeisterschaft in Amiens und schaffte den Aufstieg in die A-Gruppe. Als Verteidiger mit der besten Plus/Minus Statistik machte er sich jetzt national und international einen Namen.
Das rief die Adler Mannheim auf den Plan, die ihn 2006 unter Vertrag nahmen. Bereits in seiner ersten Saison bei den Adlern wurde er mit dem Team deutscher Meister, gewann außerdem den nationalen Pokal und nahm in der Saison 2007/08 beim hoch angesehenen Spengler-Cup in der Schweiz in Davos teil. Bei der A-Weltmeisterschaft in Moskau 2007 war er Top 3 Player des deutschen Nationalteams.
2008 unterschrieb er einen Vertrag beim Ligakonkurrenten Nürnberg Ice Tigers. Nach 144 Spielen in drei Spielzeiten endete dieses Engagement mit der Auflösung des Vertrages am 29 Dezember 2011.
Am 30. 12.2011 wurde Ancicka als Neuzugang beim EV Regensburg (Oberliga Süd) vorgestellt, wo er nach einer weiteren Spielzeit seine aktive Karriere beendete.
Nach neun Saisons für die Oberpfälzer verabschiedete sich die #27 mit einem Abschiedsspiel am 11.11.13. Seine Rückennummer wird beim EV Regensburg nicht mehr vergeben.